有限元分析法是近些年廣泛采用的數(shù)值解法，是將所要分析的連續(xù)場(chǎng)離散分割為很多較小區(qū)域(稱為單元或元素)，這些單元的集合體就代表原來的場(chǎng)，建立每個(gè)單元的求解公式，再組合起來，就能求解得到連續(xù)場(chǎng)的解答。這是一種從部分到整體的方法。從數(shù)學(xué)的角度來講，有限單元法是從變分原理出發(fā)，通過區(qū)域剖分和分片插值，把二次泛函數(shù)的極值問題化為普通多元二次函數(shù)的極值問題，后者又等價(jià)于一組多元線性代數(shù)方程的求解。因此求解渦流電磁場(chǎng)的大小和分布，要先把關(guān)于矢量磁勢(shì)的電磁場(chǎng)方程化為泛函變分問題，再對(duì)其進(jìn)行離散處理，將變分問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值問題，組成一個(gè)多元線性方程組，求解該方程組即可得到所求得關(guān)于矢量磁勢(shì)的電磁場(chǎng)方程的數(shù)值解。簡(jiǎn)言之，有限元分析法可總體概括為三個(gè)階段，前處理、求解和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分;后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡(jiǎn)便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果。通過有限元法，可以計(jì)算出合理的試驗(yàn)參數(shù)，優(yōu)化試驗(yàn)方法。

    對(duì)于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為:

  1. 求解域定義:  根據(jù)實(shí)際問題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。

  2. 求解域離散化:  將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越小(網(wǎng)絡(luò)越細(xì))則離散域的近似程度越好，計(jì)算結(jié)果也越精確，但計(jì)算量將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。

  3. 確定狀態(tài)變量及控制方法:   一個(gè)具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式。

  4. 單元推導(dǎo):  對(duì)單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似解，即推導(dǎo)有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元泛函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣。為保證問題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。對(duì)工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應(yīng)以規(guī)則為好，畸形時(shí)精度低，將導(dǎo)致無法求解。

  5. 總裝求解:  將單元總裝形成離散域的總矩陣方程(聯(lián)合方程組)，反映對(duì)近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件?？傃b是在相鄰單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)(可能的話)連續(xù)性建立在結(jié)點(diǎn)處。

 6. 聯(lián)立方程組求解和結(jié)果解釋: 有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機(jī)法。求解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。對(duì)于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將通過與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供的允許值比較來評(píng)價(jià)并確定是否需要重復(fù)計(jì)算。